Coerenza (logica matematica)

百度　　走进中山公园南门，迎面是一座蓝琉璃瓦顶的石牌坊，牌坊正中镌刻着“保卫和平”四个大字，名曰“和平牌坊”，是中山公园的标志性建筑。

In logica matematica, una teoria formale si dice coerente (o non contraddittoria, talvolta anche consistente, usando un calco dell'inglese consistent) se in essa è impossibile dimostrare una contraddizione.^[1]

A priori si distinguono due livelli di coerenza:

coerenza sintattica se nella teoria non si possono dimostrare contemporaneamente una formula ben formata e la sua negazione;
coerenza semantica se la teoria ammette almeno un modello.

Si dimostra che per una teoria del primo ordine ciascuno dei due tipi di coerenza implica l'altro. Dimostrare una delle due implicazioni è semplice mentre dimostrare che una teoria sintatticamente coerente ammette sempre un modello è la parte non banale della dimostrazione e richiede l'utilizzo dell'assioma della scelta per famiglie numerabili di insiemi.^[2]

Un esempio semplice di teoria del primo ordine non coerente è dato dalla teoria che ha un unico simbolo predicativo P e come unico assioma:

\exists x(P(x)\land \neg P(x))

Note

^ Tarski, Alfred (1946). Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences New York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.
^ Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory. New York: Cambridge University Press. p. 37.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

(EN) consistency, su Enciclopedia Britannica, Encyclop?dia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Consistency, su MathWorld, Wolfram Research.

Controllo di autorità	GND (DE) 4189803-5

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[1] Tarski, Alfred (1946). Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences New York: Dover. ISBN 0-486-28462-X.

[2] Hodges, Wilfrid (1997). A Shorter Model Theory. New York: Cambridge University Press. p. 37.

[1]

[2]

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